С поверхностями 2-го порядка студент чаще всего встречается на первом курсе. Сначала задачи на эту тему могут казаться простыми, но, по мере изучения высшей математики и углубления в научную сторону, можно окончательно перестать ориентироваться в происходящем. Для того чтобы такого не произошло, надо не просто заучить, а понять, как получается та или иная поверхность, как изменение коэффициентов влияет на нее и ее расположение относительно изначальной системы координат и как найти новую систему (такую, в которой ее центр совпадает с началом координат, а ось симметрии параллельна одной из координатных осей). Начнем с самого начала.
Определение
Поверхностью 2 порядка называется ГМТ, координаты которого удовлетворяют общему уравнению следующего вида:
F(x,y,z)=0.
Ясно, что каждая точка, принадлежащая поверхности, должна иметь три координаты в каком-либо обозначенном базисе. Хотя в некоторых случаях геометрическое место точек может вырождаться, например, в плоскость. Это лишь значит, что одна из координат постоянна и равна нулю во всей области допустимых значений.
Полная расписанная форма упомянутого выше равенства выглядит так:
A11x2+A22y2+A33z2+2A12xy+2A23yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A34z+A44=0.
Anm – некоторые константы, x, y, z – переменные, отвечающие аффинным координатам какой-либо точки. При этом хотя бы один из множителей-констант должен быть не равен нулю, то есть не любая точка будет отвечать уравнению.
В подавляющем большинстве примеров многие числовые множители все же тождественно равняются нулю, и уравнение значительно упрощается. На практике определение принадлежности точки к поверхности не затруднено (достаточно подставить ее координаты в уравнение и проверить, соблюдается ли тождество). Ключевым моментом в такой работе является приведение последней к каноническому виду.
Написанное выше уравнение задает любые (все указанные далее) поверхности 2 порядка. Примеры рассмотрим далее.
Виды поверхностей 2 порядка
Уравнения поверхностей 2 порядка различаются только значениями коэффициентов Anm. Из общего вида при определенных значениях констант могут получиться различные поверхности, классифицируемые следующим образом:
- Цилиндры.
- Эллиптический тип.
- Гиперболический тип.
- Конический тип.
- Параболический тип.
- Плоскости.
У каждого из перечисленных видов есть естественная и мнимая форма: в мнимой форме геометрическое место вещественных точек либо вырождается в более простую фигуру, либо отсутствует вовсе.
Цилиндры
Это самый простой тип, так как относительно сложная кривая лежит только в основании, выступая в качестве направляющей. Образующими являются прямые, перпендикулярные плоскости, в которой лежит основание.
На графике показан круговой цилиндр – частный случай эллиптического цилиндра. В плоскости XY его проекция будет эллипсом (в нашем случае — кругом) — направляющей, а в XZ – прямоугольником – так как образующие параллельны оси Z. Чтобы получить его из общего уравнения, необходимо придать коэффициентам следующие значения:
Вместо привычных обозначений икс, игрек, зет использованы иксы с порядковым номером – это не имеет никакого значения.
По сути, 1/a2 и другие указанные здесь постоянные являются теми самыми коэффициентами, указанными в общем уравнении, но принято записывать их именно в таком виде – это и есть каноническое представление. Далее будет использоваться исключительно такая запись.
Параллельные плоскости
y2=a2
При наличии только одной координаты поверхности 2-го порядка вырождаются в пару параллельных плоскостей. Не забывайте, на месте игрека может стоять любая другая переменная; тогда будут получаться плоскости, параллельные другим осям.
y2=−a2
В этом случае они становятся мнимыми.
Совпадающие плоскости
y2=0
При таком простом уравнении пара плоскостей вырождается в одну – они совпадают.
Не забывайте, что в случае трехмерного базиса представленное выше уравнение не задает прямую y=0! В нем отсутствуют две другие переменные, но это всего лишь значит, что их значение постоянно и равно нулю.
Построение
Одной из самых сложных задач для студента является именно построение поверхностей 2 порядка. Еще более затруднительно переходить от одной системы координат к другой, учитывая углы наклона кривой относительно осей и смещение центра. Давайте повторим, как последовательно определить будущий вид чертежа аналитическим способом.
Чтобы построить поверхность 2 порядка, необходимо:
- привести уравнение к каноническому виду;
- определить вид исследуемой поверхности;
- построить, опираясь на значения коэффициентов.
Ниже представлены все рассмотренные виды:
Для закрепления подробно распишем один пример такого типа задания.
Примеры
Допустим, имеется уравнение:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+60y+144=0
Приведем его к каноническому виду. Выделим полные квадраты, то есть скомпонуем имеющиеся слагаемые таким образом, чтобы они были разложением квадрата суммы или разности. Например: если (a+1)2=a2+2a+1, то a2+2a+1=(a+1)2. Мы будем проводить вторую операцию. Скобки в данном случае раскрывать не обязательно, так как это только усложнит вычисления, а вот вынести общий множитель 6 (в скобке с полным квадратом игрека) необходимо:
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Переменная зэт встречается в этом случае только один раз – ее можно пока не трогать.
Анализируем уравнение на данном этапе: перед всеми неизвестными стоит знак «плюс»; при делении на шесть остается единица. Следовательно, перед нами уравнение, задающее эллипсоид.
Заметьте, что 144 было разложено на 150-6, после чего -6 перенесли вправо. Почему надо было сделать именно так? Очевидно, что самый большой делитель в данном примере -6, следовательно, чтобы после деления на него справа осталась единица, необходимо «отложить» от 144 именно 6 (о том, что справа должна оказаться единица, говорит наличие свободного члена – константы, не помноженной на неизвестную).
Поделим все на шесть и получим каноническое уравнение эллипсоида:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2/3=1
В использованной ранее классификации поверхностей 2 порядка рассматривается частный случай, когда центр фигуры находится в начале координат. В данном примере он смещен.
Полагаем, что каждая скобка с неизвестными – это новая переменная. То есть: a=x-1, b=y+5, c=z. В новых координатах центр эллипсоида совпадает с точкой (0,0,0), следовательно, a=b=c=0, откуда: x=1, y=-5, z=0. В изначальных координатах центр фигуры лежит в точке (1,-5,0).
Эллипсоид будет получаться из двух эллипсов: первого в плоскости XY и второго в плоскости XZ (или YZ – это не имеет значения). Коэффициенты, на которые делятся переменные, стоят в каноническом уравнении в квадрате. Следовательно, в приведенном примере правильнее было бы делить на корень из двух, единицу и корень из трех.
Меньшая ось первого эллипса, параллельная оси Y, равняется двум. Большая ось, параллельная оси X – двум корням из двух. Меньшая ось второго эллипса, параллельная оси Y, остается той же – она равна двум. А большая ось, параллельная оси Z, равняется двум корням из трех.
С помощью полученных из первоначального уравнения путем преобразования к каноническому виду данных мы можем начертить эллипсоид.
Подводя итоги
Освещенная в этой статье тема довольно обширная, но, на самом деле, как вы можете теперь видеть, не очень сложная. Ее освоение, по сути, заканчивается на том моменте, когда вы заучиваете названия и уравнения поверхностей (и, конечно, как они выглядят). В примере выше мы подробно рассматривали каждый шаг, но приведение уравнения к каноническому виду требует минимальных познаний в высшей математике и не должно вызывать никаких затруднений у студента.
Анализ будущего графика по имеющемуся равенству уже более сложная задача. Но для ее удачного решения достаточно понимать, как строятся соответствующие кривые второго порядка – эллипсы, параболы и прочие.
Случаи вырождения – еще более простой раздел. Из-за отсутствия некоторых переменных упрощаются не только вычисления, как уже было сказано ранее, но и само построение.
Как только вы сможете уверенно назвать все виды поверхностей, варьировать постоянные, превращая график в ту или иную фигуру – тема будет освоена.
Успехов в обучении!
