Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.

Общие понятия

Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.

Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.

схема подчинения четырехугольника

Четырехугольник может быть следующих видов:

  • Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
  • Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
  • Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
  • Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
  • Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.

Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.

Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.

Частные случаи

Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:

  • Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
  • Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
  • Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.

Свойства вписанного четырехугольника в окружность

Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.

Теорема 1

Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.

По теме:  Программное и аппаратное обеспечение: понятие, назначение, уровни, характеристики и настройки

свойства вписанного четырехугольника в окружность

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что <A + <C = 180º и <B + <D = 180º.

Нужно рассмотреть представленные фигуры.

  1. <A вписан в окружность с центром в точке О. Измеряется он через ½ BCD (полудугу).
  2. <C вписан в эту же окружность. Измеряется он через ½ BAD (полудугу).
  3. BAD и BCD образуют целую окружность, т. е. их величина составляет 360º.
  4. <A + <C равны полусумме представленных полудуг.
  5. Следовательно, <A + <C = 360º / 2 = 180º.

углы четырехугольника вписанного в окружность

Аналогичным способом происходит доказательство для <B и <D. Однако существует и второй вариант решения задачи.

  1. Известно, что сумма внутренних углов четырехугольника составляет 360º.
  2. Поскольку <A + <C = 180º. Соответственно, <B + <D = 360º – 180º = 180º.

Теорема 2

(Ее часто называют обратной) Если в четырехугольнике <A + <C = 180º и <B + <D = 180º (если они противоположные), то около такой фигуры можно описать окружность.

доказательство теоремы

Доказательство

Дана сумма противоположных углов четырехугольника ABCD, равная 180º. <A + <C = 180º, <B + <D = 180º. Нужно доказать, что вокруг ABCD можно описать окружность.

Из курса геометрии известно, что через 3 точки четырехугольника можно провести окружность. К примеру, можно задействовать точки A, B, C. Где будет находиться т. D? Имеются 3 предположения:

  1. Она оказывается внутри круга. При этом D не касается линии.
  2. Вне круга. Она заступает далеко за пределы очерченной линии.
  3. Оказывается на окружности.

Следует предположить, что D располагается внутри круга. Место указанной вершины занимает D´. Получается четырехугольник ABCD´.

В результате следует:<B + <D´= 2d.

Если продолжить AD´ до пересечения с имеющейся окружностью с центром в точке Е и соединить E и C, получится вписанный четырехугольник ABCE. Из первой теоремы следует равенство:<B + <Е = 2d.

доказательство теоремы

Согласно законам геометрии, выражение не имеет силы, поскольку <D´ является внешним углом треугольника CD´E. Соответственно, он должен быть больше <Е. Из этого можно сделать вывод, что D должна оказаться либо на окружности, либо за ее пределами.

По теме:  "Тупичок Гоблина" – одиозный или полезный ресурс?

Подобным образом можно доказать неправильность третьего предположения, когда D´´ выходит за границу описанной фигуры.

Из двух гипотез вытекает единственно верная. Вершина D располагается на линии окружности. Другими словами, D совпадает с E. Отсюда следует, что все точки четырехугольника располагаются на описываемой линии.

Из этих двух теорем вытекают следствия:

  • Любой прямоугольник может быть вписан в окружность. Существует и иное следствие. Вокруг любого прямоугольника может быть описана окружность.
  • Трапеция с равными бедрами может быть вписана в окружность. Другими словами это звучит так: вокруг трапеции с равными ребрами может быть описана окружность.

Несколько примеров

Задача 1. В окружность вписан четырехугольник ABCD. <ABC = 105º, <CAD = 35º. Необходимо найти <ABD. Ответ должен быть записан в градусах.

свойства вписанного четырехугольника в окружность

Решение. Изначально может показаться, что найти ответ будет затруднительно.

1. Нужно вспомнить свойства из этой темы. А именно: сумма противоположных углов = 180º.

<ADC = 180º – <ABC = 180º – 105º = 75º

В геометрии лучше придерживаться принципа: найти все, что можно. Потом пригодится.

2. Следующий шаг: использовать теорему о сумме углов треугольника.

<ACD = 180º – <CAD – <ADC = 180º – 35º – 75º = 70º

<ABD и <ACD – вписанные. По условию они опираются на одну дугу. Соответственно, у них равные величины:

<ABD = <ACD = 70º

Ответ: <ABD = 70º.

Задача 2. Дан BCDE – вписанный четырехугольник в окружность. <B = 69º, <С = 84º. Центр окружности – точка E. Найти – <E.

четырехугольник авсд вписан в окружность

Решение.

  1. Необходимо найти <E по Теореме 1.

<E = 180º – <С = 180º – 84º = 96º

Ответ: < E = 96º.

Задача 3. Дан вписанный четырехугольник в окружность. Данные указаны на рисунке. Необходимо найти неизвестные величины x, y, z.

По теме:  Бумажные скульптуры от Кэлвина Николлса поражают своей реалистичностью

углы четырехугольника вписанного в окружность

Решение:

z = 180º – 93º = 87º (по Теореме 1)

x = ½ * (58º + 106º) = 82º

y = 180º – 82º = 98º (по Теореме 1)

Ответ: z = 87º, x = 82º, y = 98º.

Задача 4. Имеется вписанный четырехугольник в окружность. Величины указаны на рисунке. Найти x , y.

углы четырехугольника вписанного в окружность

Решение:

x = 180º – 80º = 100º

y = 180º – 71º = 109º

Ответ: x = 100º, y = 109º.

Задачи на самостоятельное решение

Пример 1. Дана окружность. Ее центр – точка О. АС и BD – диаметры. <ACB = 38º. Необходимо найти <AOD. Ответ нужно дать в градусах.

свойства вписанного четырехугольника в окружность

Пример 2. Даны четырехугольник ABCD и окружность, описанная вокруг него. <ABC = 110º, <ABD = 70º. Найдите <CAD. Ответ написать в градусах.

вписанный четырехугольник в окружность

Пример 3. Дана окружность и вписанный четырехугольник ABCD. Два его угла равны 82º и 58º. Необходимо найти больший из оставшихся углов и записать ответ в градусах.

в окружность вписан четырехугольник abcd

Пример 4. Дан четырехугольник ABCD. Углы А, В, С даны в соотношении 1:2:3. Необходимо найти угол D, если указанный четырехугольник может быть вписан в окружность. Ответ должен быть дан в градусах.

Пример 5. Дан четырехугольник ABCD. Его стороны образуют дуги описанной окружности. Градусные величины AB, BC, CD и AD, соответственно, равны: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Следует найти <С данного четырехугольника и записать ответ в градусах.