Вычисление объемов пространственных фигур является одной из важных задач стереометрии. В данной статье рассмотрим вопрос определения объема такого полиэдра, как пирамида, а также приведем формулу объема пирамиды шестиугольной правильной.
Пирамида шестиугольная
Для начала рассмотрим, что собой представляет фигура, о которой пойдет речь в статье.
Пусть у нас имеется произвольный шестиугольник, стороны которого не обязательно равны друг другу. Также предположим, что мы выбрали в пространстве точку, не находящуюся в плоскости шестиугольника. Соединив все углы последнего с выбранной точкой, мы получим пирамиду. Две разные пирамиды, имеющие шестиугольное основание, показаны на рисунке ниже.
Видно, что помимо шестиугольника фигура состоит из шести треугольников, точка соединения которых называется вершиной. Различие между изображенными пирамидами заключается в том, что высота h правой из них не пересекает шестиугольное основание в его геометрическом центре, а высота левой фигуры попадает точно в этот центр. Благодаря этому критерию левая пирамида получила название прямой, а правая — наклонной.
Поскольку основание левой фигуры на рисунке образовано шестиугольником с равными сторонами и углами, то она называется правильной. Дальше в статье речь пойдет только об этой пирамиде.
Объем шестиугольной пирамиды
Для вычисления объема произвольной пирамиды справедлива следующая формула:
V = 1/3 * h * So
Здесь h — это длина высоты фигуры, So — площадь ее основания. Воспользуемся этим выражением для определения объема пирамиды шестиугольной правильной.
Поскольку в основании рассматриваемой фигуры лежит равносторонний шестиугольник, то для вычисления его площади можно воспользоваться следующим общим выражением для n-угольника:
Sn = n/4 * a2 * ctg(pi/n)
Здесь n — целое число, равное количеству сторон (углов) многоугольника, a — длина его стороны, функцию котангенса высчитывают, используя соответствующие таблицы.
Применяя выражение для n = 6, получим:
S6 = 6/4 * a2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a2
Теперь остается подставить это выражение в общую формулу для объема V:
V6 = S6 * h = √3/2 * h * a2
Таким образом, для вычисления объема рассматриваемой пирамиды необходимо знать два ее линейных параметра: длину стороны основания и высоту фигуры.
Пример решения задачи
Покажем, как можно использовать полученное выражение для V6 для решения следующей задачи.
Известно, что правильной шестиугольной пирамиды объем равен 100 см3. Необходимо определить сторону основания и высоту фигуры, если известно, что они связаны друг с другом следующим равенством:
a = 2*h
Поскольку в формулу для объема входят только a и h, то можно подставить в нее любой из этих параметров, выраженный через другой. Например, подставим a, получаем:
V6 = √3/2*h*(2*h)2 =>
h = ∛(V6/(2*√3))
Для нахождения значения высоты фигуры необходимо взять корень третей степени из объема, что соответствует размерности длины. Подставляем значение объема V6 пирамиды из условия задачи, получаем высоту:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 см
Поскольку сторона основания в соответствии с условием задачи в два раза больше найденной величины, то получаем значение для нее:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 см
Объем шестиугольной пирамиды можно найти не только через высоту фигуры и значение стороны ее основания. Достаточно знать два разных линейных параметра пирамиды для его вычисления, например апотему и длину бокового ребра.
