Прямая является базовым геометрическим элементом для построения более сложных фигур в пространстве и на плоскости. В двумерном пространстве прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными. В трехмерном случае к ним еще добавляются скрещивающиеся прямые. В данной статье рассмотрим определение прямой, параллельной другой прямой или плоскости.
Что такое прямая?
Когда говорят: «Дайте определение прямых параллельных», необходимо четко представлять, о каком геометрическом элементе идет речь. Под прямой понимается такая совокупность точек, в которой все вектора, образованные двумя произвольными точками, являются параллельными. Это определение можно дать иначе: прямая — это такая линия, которая соединяет две заданные точки отрезком наименьшей длины.
Рисунок выше показывает, как две точки A и B соединены наименьшим отрезком, принадлежащим прямой.
Любая прямая имеет направление, которое задается ее направляющим вектором, и является одномерным объектом. Последний факт означает, что можно измерять длину отрезков — частей прямой.
Уравнение для прямой
Если задана некоторая система координат, то одним математическим равенством можно записать совокупность всех точек, которые образуют данную прямую. Это равенство называется уравнением прямой. Оно может быть записано несколькими способами. Здесь рассмотрим только три из них.
Если известен направляющий вектор прямой u¯(a; b; c) в трехмерном пространстве и некоторая точка M(x0; y0; z0), лежащая на прямой, тогда ее уравнение записывается так:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a; b; c).
Здесь λ (лямбда) — параметр, который может принимать любое число. По сути, это уравнение переводит точку M в любую другую точку прямой с помощью векторов λ*u¯. Это уравнение называется векторным.
Раскрывая векторное уравнение, мы приходим к параметрическому выражению:
x = x0 + λ*a;
y = y0 + λ*b;
z = z0 + λ*c.
Для двумерного случая имеем аналогичные выражения с двумя координатами:
(x; y) = (x0; y0) + λ*(a; b) и
x = x0 + λ*a;
y = y0 + λ*b.
Для прямой на плоскости рассмотрим еще один способ ее задания. Для этого выразим параметр лямбда в последнем типе уравнения и приравняем полученные равенства:
(x-x0)/a = (y-y0)/b =>
A*x + B*y + C = 0, где A = 1/a; B = -1/b; C = y0/b — x0/a.
Полученное уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости. Его можно переписать в более привычном виде:
y = k*x + p, где k = -A/B; p = -C.
Параллельные прямые
Определение параллельных прямых проще всего дать, используя понятие о векторе направляющем. Две прямые будут параллельны только в том случае, если таковыми являются их направляющие векторы. Это определение справедливо в любых пространствах.
Для определения прямых параллельных отрезки параллельные также можно использовать. Так, если два произвольных отрезка, каждый из которых принадлежит соответствующей прямой, будут параллельными, то таковыми будут и прямые.
Параллельность векторов можно проверить двумя способами:
Расстояние между прямыми
Если две прямые пересекаются, то дистанция между ними равна нулю. Какое определение расстояния между параллельными прямыми можно дать? Дистанцией между параллельными прямыми считается длина вектора, конец которого лежит на одной прямой, а начало на другой, при этом вектор должен быть перпендикулярен обеим прямым.
Вычислить это расстояние можно двумя методами:
d = |[P1P2¯*u¯]|/|u¯|.
Здесь u¯ — вектор направляющий 1-й прямой, P1 и P2 — произвольные точки на 1-й и 2-й прямой, соответственно, P1P2¯ — вектор, построенный на этих точках. Обращаем внимание, что в числителе формулы стоит модуль векторного произведения.
Второй метод позволяет рассчитать расстояние, однако если известна конкретная точка на прямой, и необходимо найти перпендикулярный вектор ко второй прямой с началом в известной точке, то следует применять первый метод решения.
Плоскость и прямая
Речь идет о пространственном случае. Возможны всего три варианта расположения этих геометрических объектов:
- они пересекаются в одной точке;
- они не пересекаются ни в одной точке, что является определением прямой, параллельной плоскости;
- все точки прямой принадлежат плоскости, то есть они параллельны и прямая лежит в плоскости.
Параллельность прямой и плоскости определяется из условия равенства нулю произведения скалярного их направляющих векторов. Если плоскость задана в следующем виде:
A*x + B*y + C*z + D = 0,
то ее направляющий вектор имеет координаты n¯(A; B; C). Тогда условие параллельности можно записать так:
(n¯*u¯) = 0.
Через конкретную точку пространства, не принадлежащую плоскости, можно провести бесконечное количество прямых, которые будут параллельны этой плоскости.
Задача с двумя прямыми
Две прямые на плоскости описываются следующими уравнениями:
r1: (x; y) = (1;0) + λ*(5; 2);
r2: (x; y) = (3;-4) + α*(2; 0,8).
Необходимо выяснить, являются ли они параллельными, и найти расстояние между ними.
Доказать параллельность просто. Для этого умножим на 2,5 второй направляющий вектор. Получаем:
2,5*(2; 0,8) = (5; 2).
Поскольку мы получили первый направляющий вектор, значит, прямые параллельны.
Для вычисления расстояния между ними выберем произвольную точку на первой прямой, например, (1; 0). Она будет началом перпендикулярного вектора. Найдем координаты его конца (x; y) на второй прямой. Можно записать следующие уравнения:
(x-1)*5 + y*2 = 0;
x = 3+ 2*α;
y = -4 + 0,8*α.
Находим α:
(3+ 2*α-1)*5 + (-4 + 0,8*α)*2 = 0 =>
α ≈ -0,1724.
Тогда координаты конца перпендикулярного вектора равны:
(2,6552; -4,13792).
Тогда расстояние между прямыми равно:
d = √((2,6552-1)2+(-4,13792-0)2) ≈ 4,4567.
Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой, приведенной в статье.
